Área entre una gráfica y el eje x.

 

Las aplicaciones de la integral definida son variadas, siendo el cálculo de áreas una de ellas.

Caso 1

Si la función $f$ es no negativa en el intervalo $[a,b]$, entonces su integral definida sobre el intervalo es el área limitada por su gráfica y el eje OX:

La representación corresponde a la gráfica de la función

El área que encierra su gráfica con el eje X en el intervalo $[0,2]$ es la siguiente integral definida:

Caso 2

Si la función $f$ es no positiva en el intervalo $[a,b]$, entonces su integral definida es el área encerrada entre su gráfica y el eje X, pero con valor negativo:

La representación corresponde a la gráfica de la función

El área que encierra su gráfica con el eje X en el intervalo $[0,2]$ es el valor absoluto de la integral definida:

Caso 3. 

$\mathrm{Si\; la\; función\; f}$ es negativa y positiva, la región que encierra su gráfica con el eje X está dividida en varias regiones, algunas sobre el eje y otras bajo éste:

La representación corresponde a la gráfica de la función

El área que encierra su gráfica con el eje OX en el intervalo $[0,2]$ esta dividida en dos regiones. Su área es

Tenemos que calcular una integral para cada región porque en la región que está bajo el eje, la integral es negativa.

La primera integral es

La segunda es

Por tanto, el área total de la región es:

.

Área de una región entre dos curvas

 

Para calcular el área encerrada entre dos curvas, bastaría con restar el área que queda por debajo de las dos, pero es más fácil restar las funciones y hacer la integral. Así, si f(x)≥g(x), el área encerrada entre f y g y entre las rectas x=a y x=b, se calcula:

Aquí, hay que representar las funciones para ver quien queda por encima y por debajo, y ver los posibles puntos de corte de las funciones, para separar o no la integral en trozos.

Ejemplo: Consideremos el área de la región encerrada entre las gráficas de las dos funciones:

Las funciones:

Estas gráficas se intersectan en los puntos:

El área que encierran viene dada por la integral definida:

La integral se ha escrito $f-g$ , porque la gráfica de $f$ está por encima de la de $g$.